年龄与收入对数的线性回归_为什么金融计算收益率大多采用对数收益率（Log

下面的回答都挺好的，核心是对于单一投资产品的收益率，可以在时间序列上加上对数收益率； 对于不同投资产品的横截面收益率，应使用百分比收益率，因为它在横截面上是相加的； 此外，对数回报率有助于建模。

如果我们考察单个投资产品在整个 T 期间的表现，应该使用对数收益而不是算术收益。 算术平均数不能正确反映投资产品的收益率。 例如，某投资产品今年上涨50%，明年下跌50%，其算术平均收益率为0； 但事实上，该投资产品在两年后损失了其初始本金的25%。 相反，由于对数收益率的可加性，其均值能够正确反映投资产品的实际收益率。 例如，近两年的对数回报率分别为40.5%和-69.3%，平均值为-28.77%。 转换为百分比损失是 exp{-28.77%} - 1 = -25%。

对数收益的时间序列可加性让我们可以使用另外两个强大的工具：“中心极限定理”和“大数定律”。 假设初始资本X_0（假设等于1），ln(X_T) = ln(X_T/X_0)是整个T期的对数收益率。 对数收益率的最大优势在于它的可加性。 将单期的对数收益率相加，即可得到整体的对数收益率。

如果可以假设不同时期是相互独立的，那么增加T个时期的对数收益就相当于增加了T个独立的随机变量。 根据中心极限定理，它们的和接近正态分布。 根据大数定律，(1/T)×ln(X_T/X_0)，即单期对数收益率的均值计算btc的日对数收益率，随着T的增加，将收敛于其预期； 对于给定的T，期间T的总收入将收敛于E[ln(X_T/X_0)]。

我们用初始资金 X_0 运行一个策略进行投资，最终希望在给定的 T 周期后使 X_T 尽可能大，但我们不知道 X_T 最终会收敛到什么值。 但是，上面的分析表明，只要T足够大，大数定律保证X_T的对数，即ln(X_T)会非常接近其预期的E[ln(X_T)]，这是回报率的对数值。

这个问题也可以启发这个策略的改进或者投资产品的选择——我们只是想尽可能地最大化E[ln(X_T)]。 顺便说一句，这就是凯利公式的作用，所以业界用凯利公式来计算一个策略的最优杠杆率。更多内容请看凯利公式，从赌场到量化投资

对于多个投资产品的单期收益的横截面可加性，应该使用百分比收益。假设期初我们按照

和

分配至两种投资产品，这两种投资产品的当期收益率分别为

和

.因此计算btc的日对数收益率，我们期末的金额是

，我们投资组合的回报率是

可以看出，当前投资组合的百分比收益率是这两种投资产品的百分比收益率按资金量的加权平均。

最后，通常我们用几何布朗运动对股票价格 S 建模：

上式中，μ为单期收益率预期百分比，σ为收益率的标准差。 对数价格lnS的SDE可以利用伊藤引理得到（详见布朗运动、伊藤引理、BS公式（二））：

这个公式表明lnS是有漂移的布朗运动，它的漂移率为μ – 0.5σ^2，它的波动率为σ。 根据布朗运动的性质，在任意时刻T，lnS的变化服从正态分布：

如果一个随机变量的对数满足正态分布，我们就说这个随机变量本身满足对数正态分布（lognormal distribution）。 因此，当我们用几何布朗运动来描述股价波动时，得到的股价满足对数正态分布。 对lnS的SDE两边进行积分，然后对等式两边取指数，可以写出股价随时间变化的解析式：

上面的等式乍一看似乎有悖常理。我们知道单期收益率预计为

.但在上式中，不考虑B(T)带来的随机性，只看时间T的系数，股价的单期增长率为

代替

.

是单期对数收益率（logarithmic rate of return）。比较Simple Yield

和对数回报率

，后者考虑了

惩罚。